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图4-3-22所示的悬臂梁,在自由端上挂一弹簧,弹簧上悬挂一重P的物体。设在力P作用下弹簧的静伸长为δ
(来学网)
,梁的自由端的静挠度为
。如给重物一初速度v
,试求重物的自由振动方程。梁和弹簧的质量均忽略不计。
正确答案:
悬臂梁对物体的作用相当于一弹簧,根据悬臂梁端点的静挠度
可算出此梁在端点沿铅垂方向的刚性系数为
类似地,可算出悬挂弹簧的刚性系数为
于是,图4-3-22(a)所示振动系统可以抽象为图4-3-22(b)所示的串联弹簧系统。又因串联弹簧可用一等效弹簧来替代,其当量刚性系数为
最终该系统可简化为图4-3-22(c)所示的质量弹簧系统。现以此力学模型进行求解。
(1)对象。取重物为研究对象。
(2)运动分析:重物由于初始干扰,沿铅垂方向作自由振动。为了简便,选取重物的静平衡位置O为坐标原点,
轴向下为正。t=0时
=0,
=v
。
(3)受力分析。通常,将重物放在
轴正向的任一位置上进行受力分析。作用其上的力有重力P和弹性力F,力F在
轴上的投影为
F
=-
(
+δ
+
)
(4)列运动微分方程,并求解振动规律。由F=ma得
(a)
因重物处于静平衡位置时,重力P与静变形引起的弹性力F
平衡,即有P-
(
+δ
)=0,故上式可简化为
(b)
即
(c)
式中
(d)
由表4-3-10所示的公式,可知式(c)的通解为
=Asin(pt+α)
根据初始条件
=0,
=v
,可分别求得振幅A及初位相α为
此重物的自由振动方程可表示为
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