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半径为r的圆轮沿水平直线轨道上作纯滚动(图4-2-6),轮心为C;轮边上一点M开始时与轨道上O点重合,在任意瞬时t,MC与垂直轨道的CH夹角
(来学网)
=ωt,其中角速度ω=常量。试求M点的运动方程式、速度和加速度。
正确答案:
点M作平面曲线运动。取坐标系O
,在瞬时t,轮与轨道上H点接触,此时动点M的坐标为
=OA=OH-AH=
-AH=r
-rsin
=r(ωt-sinωt);
=CH-CB=r-rcos
=r(1-cosωt)此即M点的运动方程式,也可看作以t为参数的M点轨迹方程,这是一条旋轮线。M点的速度在坐标轴上的投影分别为v
=
=rω(1-cosωt);v
=
=rωsinωt。
;cos(v,
)0=v
/v=(1-cosωt)/
;cos(v,
)-v
/v=sinωt/
。M点的加速度在坐标轴上的投影分别为a
=
=rω
sinωt;a
=rω
cosωt。
;cos(a,
)-a
/a=sinωt;cos(a,
)=a
/a=cosωt。可见a沿MC并由M指向C。讨论:当t=0时,
=0,
=0,即M与轨道上O点重合,
=ωt=0,此时v=0;又当t=2π/ω(或4π/ω,6π/ω,……)时,即I点的位置:
=OI=2πr,
=0,V
=0。可见,当轮子作纯滚动时,轮边与轨道接触点的速度为零。
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