根据《动物诊疗机构管理办法》规定，国家实行动物诊疗许可制度。动物诊疗机构提出申请后，经审核符合规定条件的，发证机关应当向申请人颁发动物诊疗许可证。发证机关指县（市辖区）级人民政府兽医主管部门；市辖区未设立兽医主管部门的，注册机关为上一级兽医主管部门。因此，发放《动物诊疗许可证》的机关是县级人民政府兽医主管部门。