（1）D公司有权拒绝F大学的追索请求。理由：根据票据法律制度的规定，因税收、继承、赠与等依法无偿取得票据的，其票据权利不得优于前手；票据债务人可以对不履行约定义务的与自己有直接债权债务关系的持票人进行抗辩。题中，E公司交付的货物存在严重的质量问题，构成违约，D公司有权以此为由对E公司提出抗辩；而F大学无偿取得票据，其票据权利不得优于其前手E公司。
（2）C基金会向F大学承担票据责任后，无权向B公司进行追索，但有权要求B公司继续履行赠与义务。理由：①B公司未在票据上签章，不属于票据债务人；②根据规定，具有救灾、扶贫等社会公益、道德义务性质的赠与合同或者经过公证的赠与合同，不得撤销赠与。题中，B公司与C基金会约定捐赠30万元（而非捐赠支票本身，支票只是该30万元的支付手段），该赠与合同不得撤销，C基金会未能实际得到票款，有权要求B公司更换其它支付方式，继续履行该赠与合同。
（3）C基金会无权向A公司追索。理由：根据规定，在票据伪造的情况下，被伪造人不承担票据责任。关键在于区分票据基础关系和票据关系：①就票据基础关系（甲无权代理A公司与B公司订立购货合同）而言，甲的行为构成表见代理，A公司应当向B公司承担合同责任；②就票据关系而言，甲并未在票据上表明代理关系并以自己的名义签章，该支票上出票人签章直接显示为A公司，不满足票据代理要件，即甲的行为不属于票据代理行为（不适用于表见代理），而是属于票据伪造行为，则A公司无需承担票据责任。
（4）C基金会无权向甲追索。理由：根据规定，伪造人并未以自己名义在票据上签章，不承担票据责任，但是可能要承担刑事责任、行政法律责任或者民法上的赔偿责任。