计算分析题
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小Y因购买个人住房向甲银行借款500000元，年利率8%，每半年计息一次，期限5年，自2014年1月1日起至2019年1月1日止，小Y选择等额本息还款方式偿还贷款本息，还款日在每年的7月1日和1月1日。2015年12月末，小Y收到单位发放的一次性年终奖100000元，正在考虑这笔奖金的两种使用方案：
（1）2016年1月1日提前偿还银行借款100000元（当日仍需偿还原定的每期还款额）。
（2）购买乙国债并持有至到期，乙国债为5年期债券，每份债券面值1000元，票面利率4%，单利计息，到期一次还本付息，乙国债还有5年到期，当前价格960元。
要求：
（1）计算投资乙国债的到期收益率。小Y应选择提前偿还银行借款还是投资国债，为什么？
（2）计算当前每期还款额。如果小Y选择提前偿还银行借款，计算提前还款后的每期还款额。
（1）2016年1月1日提前偿还银行借款100000元（当日仍需偿还原定的每期还款额）。
（2）购买乙国债并持有至到期，乙国债为5年期债券，每份债券面值1000元，票面利率4%，单利计息，到期一次还本付息，乙国债还有5年到期，当前价格960元。
要求：
（1）计算投资乙国债的到期收益率。小Y应选择提前偿还银行借款还是投资国债，为什么？
（2）计算当前每期还款额。如果小Y选择提前偿还银行借款，计算提前还款后的每期还款额。
请写下答案：
正确答案:
（1）假设投资乙国债的到期收益率为rd，则有：
960＝（1000＋1000×4%×5）×（P/F，rd，5）
解得：（P/F，rd，5）＝0.8
当rd＝4%，（P/F，4%，5）＝1.04^－5＝0.8219
当rd＝5%，（P/F，5%，5）＝1.05^－5＝0.7835
使用内插法：（rd－4%）/（5%－4%）＝（0.8219－0.8）/（0.8219－0.7835）
解得：rd＝4.57%
提前偿还借款的有效年利率＝（1＋4%）²－1＝8.16%
提前偿还银行借款的收益率8.16%>投资乙国债的到期收益率4.57%，所以小Y应选择提前偿还银行借款。
（2）①计息期利率＝8%/2＝4%
共有10个计息期，查年金现值系数表可得：（P/A，4%，10）＝8.1109
由公式P＝A×（P/A，i，n），代入数据可得：500000＝A×（P/A，4%，10）
解得：当前每期还款额A＝61645.44（元）
②计算提前还款后的每期还款额：
解法一：
站在4时点，未来按照原计划还款6次的现值和提前还款100000元加按照新计划还款6次的现值相等。
查年金现值系数表可得：（P/A，4%，6）＝5.2421
61645.44×（P/A，4%，6）＝100000＋a×（P/A，4%，6）
解得：提前还款后的每期还款额a＝42569.12（元）
解法二：
站在4时点，由于提前还款100000元，未来每次还款金额将从A下降为a。因此一组等额定期的现金流A－a的现值就是100000元。
（61645.44－a）×（P/A，4%，6）＝100000
解得：提前还款后的每期还款额a＝42569.12（元）。
960＝（1000＋1000×4%×5）×（P/F，rd，5）
解得：（P/F，rd，5）＝0.8
当rd＝4%，（P/F，4%，5）＝1.04^－5＝0.8219
当rd＝5%，（P/F，5%，5）＝1.05^－5＝0.7835
使用内插法：（rd－4%）/（5%－4%）＝（0.8219－0.8）/（0.8219－0.7835）
解得：rd＝4.57%
提前偿还借款的有效年利率＝（1＋4%）²－1＝8.16%
提前偿还银行借款的收益率8.16%>投资乙国债的到期收益率4.57%，所以小Y应选择提前偿还银行借款。
（2）①计息期利率＝8%/2＝4%
共有10个计息期，查年金现值系数表可得：（P/A，4%，10）＝8.1109
由公式P＝A×（P/A，i，n），代入数据可得：500000＝A×（P/A，4%，10）
解得：当前每期还款额A＝61645.44（元）
②计算提前还款后的每期还款额：
解法一：
站在4时点，未来按照原计划还款6次的现值和提前还款100000元加按照新计划还款6次的现值相等。
查年金现值系数表可得：（P/A，4%，6）＝5.2421
61645.44×（P/A，4%，6）＝100000＋a×（P/A，4%，6）
解得：提前还款后的每期还款额a＝42569.12（元）
解法二：
站在4时点，由于提前还款100000元，未来每次还款金额将从A下降为a。因此一组等额定期的现金流A－a的现值就是100000元。
（61645.44－a）×（P/A，4%，6）＝100000
解得：提前还款后的每期还款额a＝42569.12（元）。
参考解析:
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